【현대물리학】 슈뢰딩거 방정식

슈뢰딩거 방정식

Erwin Schrödinger, 1887~1961

고전역학에서 입자(알갱이)와 파동은 서로 상이한 실체(entity)로 취급되었는데, 파동-입자 이중성을 실험적으로 발견하면서 고전역학의 입지가 위태로워졌다. 뿐만 아니라 대상이 작을수록 전자기 복사와 에너지의 불연속성이 매우 현저히 나타났는데, 이는 미시적 대상에 대해 연구할 때 더 이상 고전역학을 적용할 수 없음을 의미했다.

- 전제: 입자는 경로를 정하여 운동하는 것이 아니라, 파동과 같이 공간을 통해 ‘전파’된다.

- 고전역학의 궤적 개념을 대체하여 입자의 역학적 정보는 앞으로 파동함수로 나타나고, 이는 ψ로 표기한다.

- 의미: 시간에 따라 변하지 않는 계(부피가 일정) 내부에서, 에너지 E를 가진 1차원 운동을 하는 질량 m의 알맹이의 파동함수를 구할 수 있는 방정식 ⇒ 간단한 입자의 운동에 대한 슈뢰딩거 방정식 기본형

- V(x): 위치 에서의 입자의 퍼텐셜 에너지

- ha bar=h/2π: 플랑크 상수의 변형상수로 슈뢰딩거 방정식에 자주 등장한다.

​

PROOF. 파동방정식과 슈뢰딩거 방정식

원래 슈뢰딩거 방정식은 뉴턴의 운동방정식과 같이 선험적인 식이다. 하지만 물리학의 역사에 근거해 입자가 파동의 성질을 갖고 있다면, 이를 지배하는 어떤 종류의 파동방정식이 존재할 것임을 유추할 수 있다.

​

퍼텐셜 에너지의 유형

1. 1차원에서 자유롭게 운동하는 입자의 퍼텐셜 에너지는 항상 일정하기 때문에 V(x)=V이다. ⇒ V=0로 둘 수 있다.

2. 점 x_0에서 앞뒤로 자유롭게 진동하는 입자의 퍼텐셜에너지는 (x-x_0)^2에 비례한다.

3. 거리 x만큼 떨어진 두 입자(전하의 부호를 고려하지 않은)의 퍼텐셜에너지는 다음과 같다. ⇒ V(x)=k_e(q_1q_2/x)

​

파동함수의 허용조건

1. 파동함수는 유한해야 한다. ⇒ 그래프가 발산하는 형태가 되면 안 된다.

2. 파동함수는 단일한 값을 가진다. ⇒ 하나의 x값에 대해 둘 이상의 같은 파동함수를 갖지 않는다.

e.g. x-를 위치 x로 y-을 파동함수 ψ로 그래프를 그릴 때 임의의 x점에 대해 수선을 그었을 때 2개 이상의 ψ값이 나오면 안 된다.

3. 파동함수는 모든 영역에 대해 연속적이다. 그래프로 파동함수가 표현될 때 끊기면 안 된다.

4. 파동함수의 1차 도함수 값 역시 연속적이어야 한다. 기울기가 연속적으로 변하는 곳이 없어야 한다!

e.g. 도함수의 그래프가 뾰족할 때, 그 점에서의 기울기가 연속적으로 변한다.

그림 1. 파동함수의 허용조건

PROOF. 슈뢰딩거 방정식과 드 브로이 식

자유롭게 움직이는 입자의 경우 슈뢰딩거 식으로부터 드 브로이의 관계식이 유도될 수 있다.

한편 운동량을 통해서도 기존의 입자에 대한 운동에너지 식을 표현할 수 있다.

위의 두 식은 의미적으로 완전 일치하기 때문에, 드 브로이 관계식을 유도할 수 있다.