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​앞선 챕터에서 우리는 미분적분학에서 핵심적으로 다루는 (1)함수와 (2)접선의 의미를 아래와 같이 공부하였다.함수: 집합 X의 각 원소 x를 집합 Y에 있는 오직 한 원소 f(x)에 대응시키는 일련의 규칙, 원소 x는 독립변수, 함수값 또는 상 f(x)는 종속변수이다.접선: 어떠한 그래프 상에 '한 지점에 접하는 직선', 할선의 기울기의 극한으로 값을 구한다. 미분에 대한 접근Approach to Differentiation  ​[그림 1]을 통해 주어진 함수는 다음과 같이 변화함을 알 수 있다.0~5초: 변화율 없음5~7초: 우상향 변화, y의 변화율은 양의 값을 가짐7~8초: 우상향 변화, 5~7초보다 더욱 급변함8~9초: 우하향 변화, y의 변화율은 음의 값을 가짐9~12초: 우하향 변화, 8~9..

​미분적분학(calculus): 미적분학, 함수로 표현할 수 있는 어떠한 물리량의 '변화'를 분석하는 데 사용되는 수학기법함수(function): 어떠한 집합 X, Y에 대한 함수 f란, 아래를 만족하는 대응관계로 정의한다. [그림 1]임의의 원소(element) x에 대해 그에 대응하는 원소 y가 유일하게 존재한다. 이때 원소 x는 집합 X에 속하고, 원소 y는 집합 Y에 속한다.집합 X는 정의역(domain), 집합 Y는 공역(codomain)이다.원소 x에 대응되는 원소를 x의 함수값(value of a function) 또는 상(image)이라 한다. 함수값은 f(x)로 표기한다.치역(range): 모든 함수값을 모은 집합으로 f(X)로 표기한다.   즉, 함수 f란, 집합 X의 각 원소 x를 집..

곡선 함수의 넓이를 구할 때, 직사각형의 넓이를 설정하는 방법으로 총 3가지를 알아보았다. 특히, 표본점의 근사식은 곡선의 길이, 입체의 부피, 질량중심, 압력에 의한 힘(force) 등 다양한 물리량을 구하는 문제에 활용된다. 그러므로 이러한 형태의 극한은 특별한 이름과 기호를 붙일 수 있다.  정적분의 정의 | Definition of Definite Integral​단, 극한이 존재하고 표본점을 어떤 식으로 잡더라도 그 값은 서로 동일하다고 가정한다. 그리고 이 극한이 존재할 때 f는 [a, b] 구간에서 적분가능(integrable)이라 한다.■​ 적분법Integration 정적분에 나온 적분기호 ∫(인테그랄, integral)은 적분법에 쓰이는 대표 기호로 각각의 의미를 알아보자.   적분법으로..

앞선 챕터에서 우리는 오른쪽 근사와 왼쪽 근사를 알아보았다. 그리고 서로 다른 끝점에 의해 아래와 같은 대소 관계를 가짐을 확인했다.​이제는 이 아이디어를 확장하여 일반적인 영역 S에 적용할 수 있는 방법론을 알아보자.  [1] 먼저 어떤 함수 f(x)에 의해 생겨난 S에 대해 동일한 폭을 갖는 n개의 직사각형을 [그림 1]과 같이 나눈다. 단, 여기서는 오른쪽 끝점들(right endpoints)로 설정한 면적에 설명을 한정한다.  [2] 구간 [a, b](지점 a에서 b까지의 구간)의 폭 값은 b-a이고, n개의 직사각형 폭이 모두 Δx일 때, Δx는 아래 값을 만족한다.  구간 [a, b]의 전체 길이(폭)는 (n개의 직사각형) x (Δx)의 값과 같다.​[3] 직사각형은 [a, b]에서 n개의 부..

아르키메데스의 소진법Method of Exhaustion ​현대적인 적분 개의 기원은 고대 그리스 시대의 수학자 아르키메데스(Archimedes of Syracuse, B.C. 287 - B.C. 212)가 곡선을 가진 도형의 면적과 부피를 구함에 있어, 오늘날의 적분과 매우 유사한 방법을 사용한 데서 출발한다.아르키메데스의 소진법: 아르키메데스는 [그림 1]과 같이, 포물선을 가로지르는 특정한 직선에 의해 경계를 갖춘 면적(parabolic segment)의 넓이를 구하는 것을 탐구했는데, 이에 대한 해결책으로 그는 [그림 2]와 같은 포물선에 내접한 삼각형 면적을 반복적으로 만들어 나가는 '소진법(消盡法, method of exhaustion)'을 구상했다.​  [그림 2]와 같이 포물선에 내접한 첫..

들어가기Introduction 미분방정식(differential equation, DE)이란, 미지의 함수와 그 도함수로 구성된 식으로 미분방정식의 풀이는 자연과학, 경제학 등 다양한 현상을 모델링하는 데 필수적으로 활용되는 기술이다.현실에서의 자연현상은 함수가 무엇인지는 모른 채 함숫값과 변화율만이 주어지고, 이를 통해 원함수(원래 함수)를 추리해야하는 경우가 대부분이다.상미분방정식(ordinary differential equation, ODE): 미지의 함수가 일변수인 상미분항만을 포함한 DE편미분방정식(partial differential eqaution, PDE): 미지의 함수가 두 개 이상의 변수를 갖고, 이에 관한 편미분항을 포함한 DE​상미분방정식은 구하려는 함수가 1개의 독립변수만을 가지..

파스칼 법칙 Pascal's Law 프랑스의 수학자 파스칼(Blaise Pascal, 1623~1662)이 발견한 유체정역학의 한 가지 법칙이다. 파스칼 법칙: 유체에 의한 압력은 깊이와 유체 표면 압력 p_0의 값에 비례하므로, 유체 표면에 압력을 증가시키면, 압력은 유체 내부의 각 점에 똑같이 전달된다. ⇒ 유체에 작용하는 압력의 변화는 유체 내의 각 점과 용기의 벽에 동등하게 전달된다. ​ 밀폐된 유체에 작용하는 압력은 용기의 벽과 유체의 모든 부분에 같게 전달된다. ​ 파스칼의 법칙[그림 1] ■ 유압 프레스(hydraulic press)[그림 2]는 파스칼의 법칙을 활용한 기계이다. e.g. 유압브레이크, 자동차 리프트, 지게차 등에도 응용 유압기의 원리[그림 3] 유압기의 구조에서 단면적의 대..

​ 선적분(line integral): 곡선적분, 평면 위의 곡선을 따르는 함수의 적분 ​ 직선 위의 정적분을 곡선 위의 적분까지 일반화한 개념으로 물리학에서는 장의 종류에 따라 (1)스칼라장 선적분과 (2)벡터장 선적분으로 구분된다. 스칼라장 선적분: 밀도의 분포가 주어진 끈의 질량을 구하는 문제와 동일 벡터장 선적분: 어떤 주어진 벡터장에서 경로를 따라 운동하는 물체에 한 일을 구하는 문제와 동일 ​ 벡터장을 물체의 운동경로에 따라 선적분하면, 힘이 물체에 한 일을 구할 수 있는데, 이때 힘이 한 일이 출발점과 도착점의 위치에만 의존하고, 경로와는 무관하다면 그 힘을 '보존력'으로 분류할 수 있다. 그리고 이 보존력장의 원함수를 그 힘에 의한 퍼텐셜에너지로 정의한다. ​ 중력 하에 있는 질량 m의 물..

물리학(physics): 자연과학의 한 분야로 물질을 중심으로 그것의 시공간에서의 운동, 그리고 그것과 연관된 에너지와 힘을 연구하는 학문 물체의 운동 등 물리현상을 수리 모형을 통해 설명하는 것이 특징 ​ Physics is the nature science that studies matters, its motion, and behaviour through space and time. ​ 물리학이란 시공간에 걸친 물체와 그 물체의 거동을 탐구하는 자연과학이다. Wikipedia Physics is the study of your world and the universe around you. ​ 물리학은 당신과 당신 주위의 우주를 배우는 학문이다. Holzner, 2006, 『Physics for Dum..

역도함수 구간 I에서 f(x)가 정의된다고 할 때, F(x)를 f(x)의 역도함수(antiderivative)라 하자. - 구간 I에서 역도함수 F(x)와 f(x)가 정의될 때, f(x)는 역도함수의 도함수로 표현할 수 있다. - F(x)는 f(x)의 역도함수로, x∈I를 만족한다. F(x) 찾기 예를 들어, x^2(f(x))의 역도함수로 x^3/3이 가능함을 계산할 수 있다. 뿐만 아니라 (x^3/3)+5 또는 (x^3/3)-7도 x^2의 역도함수가 됨을 미분표를 활용해 쉽게 확인할 수 있다. - 상수함수의 도함수는 0이다. +5나 -7은 constant로 C로 일반화하여 표현가능하다. f(x)의 antiderivative는 증명 과정에서 본 것처럼 다양한 constant를 가질 수 있으므로, 역도함수..