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미분표 미분적분학 개념에서 다룬 미분식들을 표로 정리하면 다음과 같다. - C: a constant and real number - k: a constant and real number - n: real numbers - f, g, u, v: the functions with respect to the real variable x f(x), g(x), u(x), v(x) - a: base a of the exponential and logarithmic functions (단, a>0, a≠1 조건(conditions)을 갖는다.) 상수함수의 도함수 멱의 법칙(power rule) 미분에서의 멱의 법칙은 뉴턴과 라이프니츠가 독립적으로 유도(17세기 중반)했다. 한편 적분에서의 멱의 법칙은 이보다 이른 시..

미적분학에서 f에 대한 2차 도함수(second derivative)은 'f의 도함수에 대한 도함수'를 의미한다. - f'(x)가 미분가능(differentiable)이라면, f(x)에 대한 2차 도함수를 찾을 수 있다. - 2차 도함수는 다음과 같이 표기한다. 2차 도함수는 선형관계(linear relationship)를 만족한다. 2차 도함수의 활용 물리학에서 위치(position)는 시간의 함수로 표현할 수 있다. s(t) 위치를 시간의 함수로 표현할 때, 속도(velocity)는 위치함수의 도함수로 정의한다. 속도 ■ 한편, 속도함수가 연속한다면 이것의 도함수를 구할 수도 있는데, 속도함수의 도함수를 가속도(acceleration)라고 정의한다. 가속도 ■ 마지막으로 가속도의 도함수의 개념으로 가..

x→a일 때, 식 1의 함수 α(x)를 무한소(infinitesimal)라고 부른다. x→a의 조건에서 α(x)와 β(x)를 무한히 작은 크기의 함수라고 할 때, 다음 4가지 극한의 특성을 알아보자. 1. then we can say that the function α(x) is an infinitesimal of higher order than β(x). 2. then, the function α(x) and β(x) are called the infinitesimals of the same order. 3. then, the function α(x) is called an infinitesimal of order n compared with the function β(x). 4. then, the f..

극한의 부정형으로 지금까지 0/0 부정형, 그리고 ∞/∞ 부정형을 알아보았다. 이외에도 실전문제에서는 다음과 같은 부정형도 만날 수 있다. - 차 부정형: ∞-∞ 부정형 - 곱 부정형: 0×∞ 부정형 차 부정형의 풀이 차 부정형은 식 1의 형태로 무한대를 그대로 대입하면 연산 결과가 0 또는 무한대로 구해진다. 차 부정형은 식의 종류에 따라 다음 풀이법을 갖는다. 1. 식이 다항식-다항식 꼴이라면, 먼저 최고차항을 묶어주어 계산한다. 식 2는 최고차항이 x^2이므로, 이를 묶어주면 다음과 같이 계산할 수 있다. 2. 식에 무리식이 있다면, 유리화를 해준다. 식 3에 존재하는 무리식을 다음과 같이 풀어 계산할 수 있다. EXAMPLE 1. 다음 식을 구하시오. SOLUTION. ■ 곱 부정형의 풀이 무한소..

지금까지 우리는 다양한 피적분함수에 대한 기본적분표 및 적분법(적분전략)을 살펴보았다. 기본적분표 피적분함수의 가장 간단한 형태에 대한 적분 중 특히 부정적분표는 매우 중요하며, 복잡한 형태의 적분의 원활한 풀이를 위해 암기를 요구하기도 한다. 부정적분표를 기본으로 적분의 일반성질 중 아래의 5가지 성질을 특히 주목하도록 한다. 적분의 풀이 부정적분표와 적분의 5가지 일반성질을 기초로 적분은 다음과 같은 풀이과정을 갖는다. [1] 간단한 피적분함수의 유도한다. [2] 치환대상을 찾는다. 피적분함수 내에서 u=g(x)로 치환했을 때, 그것의 미분 du=g'(x)dx가 피적분함수의 인수로 곱해진 함수 g(x)를 찾는 것이 좋다. - 적분전략 중 치환적분법을 사용할 수 있다. [3] 피적분함수의 치환에 실패할..

부분분수 적분은 피적분함수가 유리함수(분자와 분모가 다항식으로 이루어진 함수)꼴인 함수를 쉽게 적분하는 전략이다. 식 19.1의 피적분함수는 유리함수이고, 이 유리함수는 인수분해를 통해 간단한 분수의 합(식 19.2)으로 나타낼 수 있다. 식 19.2를 연산하면 식 19.1의 피적분함수를 다시 구할 수 있고, 이 과정의 역(역과정)이 즉 부분분수분해(Partial Fraction Decomposition)이다. 분수의 구분 유리함수는 일반적으로 다음과 같이 표현한다. 여기서 P와 Q는 다항식으로 P의 차수(degree)가 Q의 차수보다 작을 때, f는 더 간단한 분수의 합으로 표현된다. - 진유리함수(proper rational fraction): P(x)의 차수가 Q(x)의 차수보다 작은 유리함수 a_..

변수를 직접 적분하기 어려운 경우, 삼각함수의 성질을 활용하여 변수를 삼각함수로 치환하여 적분(삼각치환적분, integration by trigonometric substitution, ITS)할 수 있다. 예를 들어 원이나 타원의 넓이를 구하기 위해선 ∫(√a^2-x^2)dx (단, a>0이다.)와 같은 형태의 적분을 풀어야 한다. 상술한 적분은 ∫x(√a^2-x^2)dx와는 달리 치환이 어려운 적분으로, 만약 x=a sinθ로 치환하여 변수를 θ로 둔다면, 1-sin^2θ=cos^2θ를 써 근호를 제거할 수 있다. 일반적인 치환법칙과 구분하여, x=a sinθ는 다음과 같은 차이점을 갖는다. 1. 역치환(inverse substitution) 2. 역치환한 함수가 일대일이면 역치환이 가능하므로, 세타..

적분의 대표적인 전략으로 지금까지 IBS(치환적분법)과 IBP(부분적분법)를 알아보았다. 하지만 이 전략들 이외에도 피적분함수의 형태에 따라 몇 가지 적분법이 더 있다. 1. 삼각함수적분(Integrals of Trigonometric Functions, ITF) 2. 부분분수적분(Integration by Partial Fraction Decomposition, IPFD) 3. 삼각치환적분(Integration by Trigonometric Substitution, ITS) 삼각함수 적분을 위해서는 삼각함수 항등식을 반드시 복습해야 한다. ※ 참고: [미분] 8장. 도함수: 삼각함수의 도함수 https://herald-lab.tistory.com/9 [미분] 8장. 도함수: 삼각함수의 도함수 삼각함수(..

17세기 미적분학이 '발명'된 이후, 여러 수학자들에 의해 실용적인 발전을 거쳤다. 그러다 19세기에 이르러 미적분학은 '엄밀한 정의'의 재정립이 필요했는데, 이러한 움직임의 선두 주자로 프랑스의 수학자 코시가 '입실론-델타 논법'을 제시했다. 그는 극한을 다음과 같이 정의했다. "변수로 생각되는 잇따른 값들이 어떤 고정된 값에 접근하여 이것과의 차이가 원하는 만큼 작아질 때, 이렇게 고정된 값을 다른 것들의 극한이라 정의한다." 현대의 입실론-델타 논법은 이후, 독일의 수학자 바이어슈트라스에 의해 최종 정리된다. 엡실론-델타 논법 Let f(x) be defined for all x≠a over an open interval containing a. Let L be a real number. Then ..

미분법의 곱법칙(product rule)에 대응되는 부분적분법(integration by parts, IBP)을 알아보자. ※ The IBP [1] Suppose that u(x) and v(x) are differentiable functions. [2] The product rule in terms of differentials gives us: d(uv)=udv+vdu [3] Rearranging the rule, we can write: udv=d(uv)-vdu [4] Integrating both sides with respect to x: ∫udv=uv-∫vdu (integration by parts formula) 부정적분 부분적분 ■ IBP에서 핵심적인 사항은 u와 dv를 적절하게 선별하는..