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​ 미분방정식(differential equation): 미지 함수의 도함수를 포함한 방정식으로 미지의 함수 f(x)와 그 도함수 간의 관계성을 나타냄 ① 상미분방정식(ordinary differential equation; ODE): 한 개의 변수에 의존하는 미분방정식 ② 편미분방정식(partial differential equation; PDE): 여러 개의 변수에 의존하는 미분방정식 ​ 모델링(modeling): 관찰한 물리적 상태를 수학적 모델(mathematical model)로 전환하는 일반적인 과정 ​ Mathematical modeling refers to the process of creating a mathematical representation of a real-world scena..

Newton은 『프린키피아』 제1권, 제3장, 명제 15, 정리 7에서 Kepler의 제3법칙을 다음과 같이 정리, 증명했다. 행성이 태양을 타원궤도로 공전할 때, 중력은 둘 사이의 거리의 제곱에 반비례하며, 행성의 공전주기의 제곱은 그 행성의 공전 궤도의 장반경의 세제곱에 비례한다. 『프린키피아』 제1권, 제3장, 명제 15, 정리 7 우선 [그림 1]의 내용을 다음과 같이 이해해야 한다. ⓐ 태양은 점 S에 위치해있고, 행성은 점 P에 위치한다. ⓑ 타원요소 - 선분 AB: 타원의 장축 - 선분 PD: 타원의 단축 - 선분 AC 또는 BC: 타원의 장반경, a ⇒ 선분 AB=2a - 선분 PC 또는 CD: 타원의 단반경, b ⇒ 선분 PD=2b - 타원의 수직지름은 L로 2b^2/a로 구한다. - 타..

​ Newton은 자신의 저서 『프린키피아』의 제1권, 제3장, 명제 11, 문제 6에서 '타원궤도로 움직이는 행성이 거리의 제곱에 반비례하는 구심력을 받음'을 기하학적으로 증명했다. 또한 학문적 스승인 Kepler가 발견한 행성 운동에 관한 제3법칙인 '조화의 법칙' 또한 같은 책 제1권, 제3장, 명제 15, 정리 7에서 이어 증명한다. Kepler의 조화의 법칙을 다시 설명하자면, 행성의 공전주기의 제곱은 행성궤도의 장반경의 세제곱에 비례한다. 로 요약할 수 있다. ​ Newton의 타원궤도 행성에 관한 조화의 법칙 증명을 쉽게 이해하기 위해 우선 행성이 원궤도를 돈다 가정한 뒤, 이를 수학적으로 증명해보자. 원의 이해 Euclid의 『기하원론』에서 원이란 다음과 같이 정의된다. 원이란, 주어진 한..

지금까지 Newton이 정리한 운동법칙 부터 타원의 방멱정리까지 만유인력 법칙의 기하학적 증명을 위한 다양한 배경지식을 학습했다. - 구심력 F - 수직지름 L - 선분 EP=선분 AC (+타원의 반사법칙) - 타원의 방멱정리 (+원뿔곡선 1권 정리 38) 타원에 외접하는 평행사변형의 넓이는 모두 같다: 『원뿔곡선』 정리 136 [그림 1]과 같이 주어진 타원에서 선분 PG와 선분 DK는 서로 켤레지름이고, 점 P에서 선분 DK로 내린 수선의 발을 F라 하면 다음 식을 만족한다. 천체가 타원궤도로 움직이면 타원의 초점을 향해 거리의 제곱에 반비례하는 구심력이 작용한다. 프린키피아 제1권, 제3장, 명제 11, 문제 6 현 스웨덴 남부의 스코네 출신의 덴마크인 천문학자 티코 브라헤(Tycho O. Brah..

천체가 타원의 궤도로 움직일 때, 타원의 초점을 향하는 구심력은 역제곱의 법칙을 따른다. 프린키피아 제1권, 제3장, 명제 11, 문제 6 타원궤도를 도는 물체의 만유인력 법칙을 이야기하기 위해 먼저 [그림 1]의 선분 EP와 선분 AC가 서로 같은 길이를 가짐을 기하학적으로 증명할 수 있어야 한다. 선분 EP = 선분 AC [1] [그림 1]의 조건 - 선분 PG와 선분 DK가 서로 켤레지름이다. - 선분 AC는 타원의 장반경이고, 선분 BC는 타원의 단반경이다. - 점 S와 점 H는 초점이다. - 점 E는 선분 PS와 선분 DK가 만나는 교점이다. - 선분 IH는 타원의 또 다른 초점에서 DK와 평행한 직선이다. - 점 I는 선분 DK와 평행한 직선에 의해 선분 PS와 만나는 점이다. [2] 선분 C..

힘의 중심이 고정되어 있고, 어떤 물체가 둘레를 공전할 때 그 중심과 물체를 잇는 반경을 그리는 면적은 일정한 평면을 유지하며 시간에 비례한다. 『프린키피아』, 제1권, 제2장, 명제 1, 정리 1 프린키피아, 제1권, 제2장의 명제 1, 정리 1은 Kepler의 행성운동에 관한 제2법칙(면적속도일정의 법칙)을 다음과 같이 재해석한다. [그림 1]은 일정한 시간 dt 동안 행성이 지점 A에서 B, C, D, E, F...로 운동하는 것을 도식화한 그림인데, 점 S의 태양에 의해 행성은 구심력을 받고 있다. ​ 만약 [그림 1]의 행성에 외력(external force)이 없다면, Newton의 운동 제1법칙에 따라 행성은 등속 직선운동을 할 것이다. 따라서 [그림 2]처럼 행성이 만약 점 B에 있다면 점..

두 물체 사이의 중력이란, 물체의 각각의 중력질량의 곱에 비례하고, 두 물체 사이의 거리의 제곱에 반비례하는 잡아당기는 힘이다. 만유인력의 법칙의 현대적 해석 만유인력의 법칙의 현대적 해석과 달리, 원래 『프린키피아』에서는 만유인력을 '행성이 원뿔곡선의 궤도를 가지려면 태양이 행성에 작용한 구심력의 거리의 제곱에 반비례해야함'을 설명, 기하학적으로 증명했다. 또한 구심력이 거리의 제곱에 반비례하면, 행성 궤도는 원뿔곡선을 가짐을 보였다. - 원뿔(cone)이란 [그림 1]처럼 '콘' 모양을 한 밑면이 원인 뿔이다. 이것을 어떻게 자르느냐에 따라 절단면이 만드는 곡선의 형태가 결정되는 데, 이들을 원뿔곡선(conic curve)이라 한다. - conic curve의 종류 ⓐ 타원(ellipse) ⓑ 원(c..

소개 고전 자연철학의 수학적 원리(Philosophiae Naturalis Principia Mathematica)* *이후 포스팅에서는 짧게 『프린키피아』로 소개하고자 함 ​ 목표 1. 프린키피아는 1687년 잉글랜드의 위대한 물리학자인 뉴턴 경(Sir Isaac Newton, 1643-1727)이 작성한 총3권의 자연철학서로, 이 포스팅에서는 그 중 제1권의 내용인 '만유인력의 법칙의 역제곱 법칙의 기하학적 증명'을 집중적으로 소개하고자 함 2. 프린키피아는 고대 그리스 시대 알렉산드리아의 유클리드(Euclid of Alexandria, BC 4세기 중엽 - BC 3세기 중엽)가 기술한 『기하학원론』의 체계를 따르는데, 공리(postulate)의 개념에서 시작해 논리적인 순서로 정리(theorem)나..

유체 내부에서 발생하는 저항력(항력)의 크기는 유체가 가진 점성(viscosity)에 의해 결정된다. 점성: 점도, 유체에 내재된 점착성으로 물리학에서 점도는 액체의 흐르려는 경향에 대한 저항의 척도이다. 유체의 점성에 의해서 (1)유체의 유동 경향이 결정될 뿐만 아니라 (2)에너지의 손실도 발생한다. ​ 유체의 점성은 유체의 흐름을 연구하는 유체역학, 공기역학에 매우 중요한 물리량이다. 점성력(viscous force): 유체 내 내부 마찰력의 크기와 관련된 물리량으로 유체의 점성도를 만드는 주요인이다. 점성력은 유체 내 인접한 두 층이 서로 '상대적으로' 이동[그림 1]하는데서 생긴다. ​ ​ 유체의 속력 차이 유체가 흐르는 관이 수평으로 놓여있고, 관의 단면적이 일정하더라도 유체가 흐르는 방향으로 ..

물리학의 여러 가지 문제는 공간상에서의 위치 표현으로부터 시작되고, 이를 위해서는 벡터에 대한 내용을 반드시 숙지해야함을 여러 차례 강조하였다. - 벡터의 수학적 해석을 위해 삼각법(trigonometry)이 도입되었다. · trigonometry: 삼각형의 변과 각 사이의 관계에 따른 여러 가지 기하학적 도형을 연구하는 수학의 한 분과 - 공간상의 위치표현은 프랑스의 철학자 르네 데카르트(René Descartes, 1596~1650)가 쓴 저서 『기하학(La Géométrie)』(1637)과 프랑스의 법조인 페르마(Pierre de Fermat, 1607~1665)의 3차원에 관한 연구로부터 발견할 수 있다. ⇒ 특히 데카르트는 직각좌표계를 이용해 유클리드 기하학(Euclidean geometry)과..